Soit un ensemble E et soit A un sous-ensemble de E. On appelle fonction caractéristique de A, et l’on note $\chi_A$, la fonction de E dans $\{0,1\}$ définie par :
$\chi \begin{cases} \mathcal{P}(E) \longrightarrow \{0,1\} \\
A \longmapsto \chi_A \ \begin{cases}
E \longrightarrow \{0,1\} \\
x \longmapsto \begin{cases}
\chi_A{(x)}=1 \iff x\in A  \\ \chi_A{(x)}=0 \iff x\notin A \end{cases}
\end{cases}
\end{cases}$  :

Montrons que $\chi$ est bijective :

L’injectivité : Montrons que $\chi$ est injective $\iff \forall{A, B} \in E^2, \chi(A) = \chi(B)\Rightarrow A=B$

On procède par contraposée, montrons que $\forall{A, B} \in E^2, A \neq B \Rightarrow \chi(A) \neq \chi(B)$

si $A \neq B$ alors il existe un élément $x$ appartenant à l’ensemble $A \cup B$ qui n’appartient pas à $A \cap B$

Supposons : $x \in A$ et $x \notin B$

alors $\chi_A(x) \neq \chi_B(x)$

et donc $\chi_A \neq \chi_B$ soit $\chi(A) \neq \chi(B)$  CQFD

La surjectivité : Soit $\phi$ l’application de E dans {0, 1}, montrons qu’il existe un ensemble A avec $A \in \mathcal{P}(E)$ tel que $\phi = \chi_A$.

A est bien une partie de E, et on a $\forall x \in A,\  \phi(x)=1$ et $\forall x \in E \backslash A,\  \phi(x)=0 $ donc $\phi = \chi_A$ CQFD

$$\chi \ est \ bijective$$

On a donc le théorème suivant : Soit A et B deux sous-ensembles d’un ensemble E. Si les fonctions caractéristiques de A et B sont égales, alors les ensembles A et B sont égaux, autrement dit :

$$\forall(A,B) \in [\mathcal{P}(E)]^2 \ \ \chi_A=\chi_B \ \iff \ A=B$$

Propriétés de $\chi$

• On a $\forall x \in E, \  \chi_A(x) \in \{0,1\}$

Si $\chi_A(x) = 0 \ : \ [\chi_A(x)]^2 =0$

Si $\chi_A(x) = 1 \ : \ [\chi_A(x)]^2 =1 $

Donc pour tout x :  $\boxed{[\chi_A(x)]^2 =  [\chi_A(x)]}$

Il en résulte : $\chi_A^2=\chi_A$

• $\chi_A(x) = 0 \iff x \notin \bar{A} \iff x \in A \iff \chi_A(x)=1$
• $\chi_A(x) = 1 \iff x \in \bar{A} \iff x \notin A \iff \chi_A(x)=0$

Donc pour tout x : $\chi_{\bar{A}}(x) = 1 -\chi_A(x)$

Il en résulte : $\boxed{\chi_{\bar{A}}= C_1-\chi_A}$ où $C_1$ désigna l’application constante égale à 1

•  $\chi_{A \cap B}(x) =1 \iff \chi_{\bar{A}}(x) = 1 \ et \ \chi_{\bar{B}}(x) = 1$
• $\chi_{A \cap B}(x) =0 \iff \chi_{\bar{A}}(x) = 0 \ _ou \ \chi_{\bar{B}}(x) = 0$

Il en résulte : $\boxed{\chi_{A \cap B}=\chi_A.\chi_B}$

•  $\chi_{A \cup B}(x) =1 \iff \chi_{\bar{A}}(x) = 1 \ ou \ \chi_{\bar{B}}(x) = 1$
• $\chi_{A \cup B}(x) =0 \iff \chi_{\bar{A}}(x) = 0 \ et \ \chi_{\bar{B}}(x) = 0$

Il en résulte : $\boxed{\chi_{A \cup B}=\chi_A+\chi_B}$